群

群相关定义

• 群：集合$G$和二元运算符$\circ :G\times G\to G$，对于$(G,\circ )$代数系统，它是群当且仅当其满足结合律（$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$），存在幺元（单位元）（$e\circ a=a\circ e=a$），存在逆元（$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$）。

• 对于$(G,\circ )$代数系统，满足结合律即为半群，又存在单位元即为独异点，又存在逆元即为群。

• 群的幺元和逆元都是唯一的（$e=e{e}^{\prime }=e^{\prime }$），且$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$，$(a^{-1}{)}^{-1}=a$。

• 阿贝尔群（abelian）：运算满足交换律的群，也称可交换群（commutative）。

  对于一个代数系统：

  • 若其满足结合律，则是半群。
  • 若其满足结合律且存在单位元，则是独异点
  • 若其还存在逆元，则是群。
  • 若其还满足对换率，则是阿贝尔群。

• 子群：当$H\subseteq G$且$(H,\circ )$是一个群，则称$(H,\circ )$是$(G,\circ )$的子群。

• 子群的判定： $H$是$G$的子群当且仅当对于$\forall h,h^{\prime }\in G$

  1. $G$的幺元$e\in H$。
  2. 如果$h,h^{\prime }\in H$，有$h{h}^{\prime }\in H$。
  3. 如果$h\in H$，有$h^{-1}\in H$。

  $H$是$G$的子群当且仅当$\forall g,h\in H,g{h}^{-1}\in H$。

  $H$是$G$的非空有限子集，则$H$是$G$的子群当且仅当$\forall a,b\in H,ab\in H$。

• $U(n)$：${\mathbb{Z}}_n$中有逆元的元素组成的子群（group of unit）。如$U(8)=1,3,5,7$。

• 循环子群（cyclic subgroup）：有些子群可以通过选取$G$中的一个元素来确定。对于$a\in G$，可以通过$⟨a⟩=\{a^k:k\in \mathbb{Z}\}$得到$G$的一个子群。此时$⟨a⟩$称为循环子群。对循环子群中的元素$a$，其阶（order）定义为最小的满足$a^n=e$的正整数$n$。 如果$G$中有一个元素使得$G=⟨a⟩$，则$G$称为循环群（cyclic group），而$a$称为$G$的生成元（generator）。

• Theorem 4.9：所有循环群都是阿贝尔群。

• Theorem 4.10：所有循环群的子群都是循环群。

• Proposition 4.12：$G$是一个$n$阶循环群且$a$是$G$的一个生成元，则$a^k=e$当且仅当$n$整除$k$（$k$是$n$的倍数）。

• Theorem 4.13：$G$是$n$阶的循环群且$a\in G$是一个$G$的生成元，如果$b=a^k$，则$b$的阶为$n/d,d=\gcd (k,n)$。

• Corollary 4.14：${\mathbb{Z}}_n$的生成元$r$满足$gcd(r,n)=1$

• 如果将$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$记为$z=r\mathrm{cis}\theta$，则$z=r\mathrm{cis}\theta$，$w=s\mathrm{cis}\varphi$，$zw=rs\mathrm{cis}(\theta +\varphi )$。且$[r\mathrm{cis}\theta {]}^n=r^n\mathrm{cis}(n\theta )$。

• 圆群（circle group）：$\mathbb{T}=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$

置换群与拉格朗日定理

• 对称群（symmetric group）：集合$S$中所有置换映射$\pi :S\to S$的集合形成的群称为对称群（symmetric group），$n$个元素的集合$S$的对称群记为$S_n$。对称群的一个子群称为置换群（permutation group）。
• Proposition 5.8：两个不相交的轮换（cycle）$\sigma ,\tau$满足$\sigma \tau =\tau \sigma 。$
• Theorem 5.9：任意置换群都可以写为不相交的轮换的乘积。
• 长度为2的轮换被称为对换（transposition）。
• Proposition 5.12：任意含有至少两个元素的有限集合的置换群可以被写为有限个对换的乘积。
• Lemma 5.14：如果identity可以被写成$r$个对换的乘积$id={\tau }_1{\tau }_2\cdots {\tau }_r$，则$r$为偶数。
• Theorem 5.15：一个置换群要么只能被偶数个对换表示，要么只能被奇数个对换表示。
• 如果一个置换群可以被偶数个对换表示，则称其为偶置换群。反之为奇置换群。
• 交错群（alternating group）：$S_n$中所有的偶置换群组成的子群，记为$A_n$。
• 二面群（dihedral group）：正则$n$多边形的刚体运动，记为$D_n$。
• Theorem 5.23：对于$n\ge 3$的$D_n$群，由两个元素$r,s$组成。其中$r,s$满足$r^n=1,s^2=1,srs=r^{-1}$。
• 陪集（coset）：$H$是$G$的一个子群，$g$是$G$的一个元素，则$H$的左陪集为$gH=\{gh:h\in H\}$，右陪集为$Hg=\{hg:h\in H\}$。
• Lemma 6.3：$H$是$G$的一个子集，且$g_1,g_2\in G$。以下五个条件等价
  1. $g_{1}H=g_{2}H$
  2. $H{g}_1^{-1}=H{g}_2^{-1}$
  3. $g_{1}H\subseteq g_{2}H$
  4. $g_2\in g_{1}H$
  5. $g_1^{-1}{g}_2\in H$
• Theorem 6.4：$H$是$G$的一个子集，则$H$的左陪集是$G$的一个分割。或者说，$G$是$H$的左陪集的不相交并。
• 以上两个定理只需稍变形式，对右陪集也适用。左陪集与右陪集的个数相等。
• Proposition 6.9：$H$是$G$的一个子群，且$g\in G$。定义一个映射$\varphi :H\to gH$为$\varphi (h)=gh$。可以证明$\varphi$是双射函数，因此$H$的元素个数与$gH$的相同。
• Theorem 6.10（拉格朗日 Lagrange）：$G$是一个有限群且$H$是$G$的子群。则$|G|/|H|=[G:H]$是$H$不同的左陪集的个数。特别的，$|H|$必然能够整除$|G|$。

同构

• 两个群$(G;\cdot ),(H;\circ )$同构当且仅当存在一个双射函数$\varphi :G\to H$使得$\forall a,b\in G,\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\circ \varphi (b)$。其中双射函数$\varphi$被称为两个群的同构映射（isomorphism）。

• Theorem 9.6：令$\varphi :G\to H$是两个群的同构映射，则下列命题成立：

  1. ${\varphi }^{-1}:H\to G$是一个同构映射。
  2. $|G|=|H|$。
  3. 如果$G$是阿贝尔群，则$H$也是阿贝尔群。
  4. 如果$G$是循环群，则$H$也是循环群。
  5. 如果$G$存在一个$n$阶子群，则$H$也存在一个$n$阶子群。

• Theorem 9.7：所有的无限阶循环群都同构于$\mathbb{Z}$。

• Theorem 9.8：如果$G$是一个$n$阶循环群，则$G$同构于${\mathbb{Z}}_n$。

• Corollary 9.9：如果$G$是一个$p$阶群，且$p$是一个质数，则$G$同构于${\mathbb{Z}}_p$。

• Theorem 9.10：群的同构在所有的群中确定了一种等价关系。

• Theorem 9.12：凯莱定理（Cayley’s Theorem）：所有群$G$都分别同构于某个对称群。

• 外直积：对群$(G;\cdot ),(H,\circ )$，则可以在笛卡尔积$G\times H$上定义一个二元操作$(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1\cdot g_2,h_1\circ h_2)$。这构成了一个在$G\times H$上的群。

• Theorem 9.21：群${\mathbb{Z}}_m\times {\mathbb{Z}}_n$同构于$Z_{mn}$当且仅当$\gcd (m,n)=1$。

• 内直积：群$G$有两个子群$H,K$满足以下条件：

  • $G=HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$
  • $H\cap K=\{e\}$
  • $\forall k\in K,h\in H,hk=kh$

  则$G$称为$H$和$K$的内直积。

• Theorem 9.27：若$G$是$H,K$的内直积，则$G$同构于$H\times K$。

正规子群和商群

• 如果群$G$的子群$H$满足$\forall g\in G,gH=Hg$，则$H$称为$G$的正规子群（normal subgroups）。也即正规子群的左陪集和右陪集相等。
• Theorem 10.3：对群$G$和$G$的子群$N$，下列命题等价：
  • $N$是$G$的正规子群
  • $\forall g\in G,gN{g}^{-1}\subseteq N$
  • $\forall g\in G,gN{g}^{-1}=N$
• 如果$N$是$G$的正规子群，则$N$的陪集和二元操作$(aN)(bN)=abN$组成了一个群$G/N$，称为$G$和$N$的商群（factor or quotient group）
• Theorem 10.4：令$N$是$G$的正规子群，则$N$在$G$的陪集组成了$[G:N]$阶的商群$G/N$。
• Lemma 10.8：大于3的交错群$A_n$可以由多个3-轮换（3-cycle）生成。
• Lemma 10.9：令$N$是$A_n$的正规子群，如果$N$包含一个3-轮换，则$N=A_n$。
• Lemma 10.10：当$n>5$时，任意非平凡的$A_n$的正规子群$N$都包含3-轮换。

同态

• $(G,\cdot ),(H,\circ )$的同态映射（homomorphism）是从$G$到$H$的映射，满足$\varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1)\circ \varphi (g_2)$。
• Proposition 11.4：令$\varphi :G_1\to G_2$是一个同态映射，则
  • 如果$e$是$G_1$的幺元，则$\varphi (e)$是$G_2$的幺元。
  • 对任意元素$g\in g_1$，$\varphi (g^{-1})=[\varphi (g){]}^{-1}$。
  • 如果$H_1$是$G_1$的子群，则$\varphi (H_1)$也是$G_2$的子群。
  • 如果$H_2$是$G_2$的子群，则${\varphi }^{-1}(H_2)=\{g\in G_1:\varphi (g)\in H_2\}$是$G_1$的一个子群。如果$H_2$是$G_2$的正规子群，则${\varphi }^{-1}(H_2)$是$G_1$的正规子群。
• 令$\varphi :G\to H$是一个同态映射且$e$是$H$的幺元，则${\varphi }^{-1}(\{e\})$是$G$的一个子群。这个子群称为$\varphi$的同态核（kernel），记为$\ker \varphi$。
• Theorem 11.5：令$\varphi :G\to H$是一个同态映射。则同态核$\ker \varphi$是$G$的一个正规子群。
• 自然同态（natural homomorphism or canonical homomorphism）：$\varphi :G\to G/H$的映射，定义为$\varphi (g)=gH$。
• Theorem 11.10（第一同构定理、群同态第一定理）：如果$\psi :G\to H$是一个同态映射且$K=\ker \psi$，则$K$是$G$的正规子群。令$\varphi :G\to G/K$为自然同态映射，则存在一个唯一的同构$\eta :G/K\to \psi (G)$使得$\psi =\eta \varphi$。